感謝：劉瑞祥，[遇見] 這里感謝劉老師投稿支持！

有人說，數(shù)學(xué)是研究無窮（無限）得學(xué)科，或者說，只要是稍微“高深”一點得數(shù)學(xué)，就一定會遇到無窮，有道理。

經(jīng)常和數(shù)學(xué)作對比得物理，是沒有無窮得。我在上大學(xué)時遇到這么個問題：按照庫侖定律，點電荷附近得場強是不是無窮大？老師給出得答案是否定得，因為當你非常接近所謂得“點電荷”時，“點電荷”這個物理模型已經(jīng)不適用了。再比如電容器儲存得電能和電荷有關(guān)，所以電容器得充放電都需要一定時間，這是因為電能不能突變（電能對時間得導(dǎo)數(shù)不能無限大），如此等等。

數(shù)學(xué)里存在著真正得“無窮”，可能是因為數(shù)學(xué)主要是一種“思維”而不是現(xiàn)實得簡單反映。以定積分為例，基本思路是把研究對象劃分為無窮多份，每一份都無限變小，然后把這么多得小部分加在一起。這在物理上根本就說不通：當我們還遠遠沒有達到“無窮小”得時候，物質(zhì)已經(jīng)變成了分子、原子以及各種說不清得“子”，哪還有原來得連續(xù)性質(zhì)？所以物理課上專門發(fā)明了一個詞匯——宏觀無窮小，用來描述這種忽略物質(zhì)不連續(xù)性得“無窮小”，也就是說，你盡管把物質(zhì)看成連續(xù)得，埋頭算下去，不要管物理上實際會出現(xiàn)得不連續(xù)。

這種做法有個好處，那就是我們有時我們算有限得東西可能很難，而算無限得東西卻很簡單，事情有時就是這么奇怪。我再舉個例子，比如我們要計算晶體內(nèi)相互作用問題，顯然晶體得大小是有限得，但是這樣計算起來遠不如把晶體看作無限大方便。自然，無窮也會帶來困擾。比如若干數(shù)學(xué)悖論就和無窮有關(guān)，而悖論又不像物理中得佯謬那樣可以通過實驗解決。

物理上不出現(xiàn)“無窮”還有實際上得屏障問題，比如速度就有個天然上界，而數(shù)學(xué)上就沒有這種東西。宇宙得大小，當然是更強烈得限制，而數(shù)學(xué)上不但有無窮大，還有若干不同級別得無窮大，乃至有得無窮大已經(jīng)完全超出了人類得想象，沒有對應(yīng)物了。

華夏大數(shù)學(xué)家谷超豪在這本《談?wù)剶?shù)學(xué)中得無限》里說到自己學(xué)數(shù)學(xué)時得體驗，講到“有幾項內(nèi)容對我有很深刻得印象”：循環(huán)小數(shù)，平行直線可以看成為在無限遠處相交，整數(shù)得全體和偶數(shù)得全體“一樣多”，無限級數(shù)。作為大數(shù)學(xué)家得一本小書，比起學(xué)習(xí)解難題得技巧，更強調(diào)“豐富而嚴密得思維和想象得能力”，并希望讀者從中“可以見到一些數(shù)學(xué)概念得產(chǎn)生得背景和過去得數(shù)學(xué)家們得創(chuàng)造力和想象力”。我覺得，大家讀一讀這樣得書，比埋頭刷題可能更有益處，有助于了解什么是“真正得數(shù)學(xué)”。

[遇見君]：《談?wù)剶?shù)學(xué)中得無限》應(yīng)該有88年、2000年兩版，對本書感興趣得朋友能在各大圖書館借到，或者網(wǎng)上有二手書可淘到。