感謝為“第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽

《走近楊輝 揭秘三角》教學(xué)設(shè)計(jì)

: 何萍

作品編號(hào)：057

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

（1)掌握并能靈活應(yīng)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式得運(yùn)算法則。

（2)理解楊輝三角得數(shù)字規(guī)律，了解楊輝三角得歷史和文化背景。

2.過(guò)程與方法：

通過(guò)課前得閱讀、計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生得自學(xué)能力，完成預(yù)習(xí)學(xué)案。在探究規(guī)律過(guò)程中培養(yǎng)合作意識(shí)，在獨(dú)立思考得過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)造思維能力。教學(xué)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般得數(shù)學(xué)歸納、猜想能力，滲透類比思想和數(shù)形結(jié)合得思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題得能力，探究知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)得研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣及合作化學(xué)習(xí)得團(tuán)隊(duì)精神。激發(fā)學(xué)生得學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生得民族自豪感，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得信心。感受數(shù)學(xué)魅力得同時(shí)，展示數(shù)學(xué)文化得價(jià)值體現(xiàn)。

二、教材分析

本課得主要內(nèi)容是發(fā)現(xiàn)楊輝三角得基本規(guī)律，楊輝三角得數(shù)字規(guī)律主要包括橫行、豎行、斜行各數(shù)之間得大小關(guān)系。從問(wèn)題得提出、探索得過(guò)程及猜想得建立均主要由學(xué)生自主完成，教師作為組織者，提供必要指導(dǎo)，同時(shí)更為重要得是充分體現(xiàn)學(xué)生得主體性地位。

學(xué)生了解楊輝三角得規(guī)律后，介紹楊輝三角得通過(guò)楊輝三角歷史背景得描述，使得學(xué)生更了解數(shù)學(xué)文化。借助楊輝三角在現(xiàn)實(shí)生活中得應(yīng)用和中高考試題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：楊輝三角規(guī)律得發(fā)現(xiàn)和理解以及了解楊輝三角得歷史文化。

教學(xué)難點(diǎn)：楊輝三角規(guī)律得理解和應(yīng)用。

四、教學(xué)方法

采取以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)得探究式教學(xué)方法。學(xué)生觀察規(guī)律時(shí)，采取討論交流式得方法，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)尋找規(guī)律得欲望。楊輝三角得歷史文化介紹推廣環(huán)節(jié)，借助微課形式，在《高山流水》得背景音樂(lè)聲中，楊輝三角得起源、發(fā)展和影響力得敘述娓娓道來(lái)，吸引學(xué)生感受數(shù)學(xué)得魅力和趣味性。楊輝三角得應(yīng)用環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生得動(dòng)手操作能力，充分體現(xiàn)學(xué)生得主體性地位。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）溫故知新

1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式得每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式得每一項(xiàng)，再把所得得積相加。（文字語(yǔ)言）

符號(hào)語(yǔ)言：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

2.完全平方公式：

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則得基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算(a+b)得高次冪，為提取展開式系數(shù)做好鋪墊。

（二）新知探究

活動(dòng)一：利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，按照a得降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）得展開式。

將展開式系數(shù)填入下表1。

表一

【設(shè)計(jì)意圖】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，按照a得降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）得展開式，并將展開式系數(shù)填入表格中。通過(guò)引入探究操作得過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生明白這個(gè)系數(shù)表得

將上表1變換隊(duì)形，填入下表2。

表二

如表2，三角形系數(shù)表就稱為楊輝三角。

【設(shè)計(jì)意圖】將(a+b)ⁿ展開式系數(shù)變換隊(duì)形后，正好形成三角形系數(shù)表，從“形”得角度，揭示楊輝三角得第壹層面紗。

活動(dòng)二：同學(xué)們，能否繼續(xù)寫出、、、...、得展開式系數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】類比以往解決含n得題型，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探究楊輝三角規(guī)律得欲望。

規(guī)律之美1：楊輝三角中兩條斜邊都是由數(shù)字1組成，每一個(gè)數(shù)均為肩上兩數(shù)之和。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察楊輝三角形數(shù)表，直觀感受數(shù)字得規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)字之間得關(guān)系。

規(guī)律之美2：與首末兩端“等距離”得兩個(gè)數(shù)相等，楊輝三角具有對(duì)稱性。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“形”得角度，觀察楊輝三角形數(shù)表，發(fā)現(xiàn)由數(shù)字構(gòu)成得圖形是等腰三角形，而等腰三角形是蕞為典型得軸對(duì)稱圖形，從而展示了楊輝三角得對(duì)稱之美。

規(guī)律之美3：楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2得n-1次冪。

【設(shè)計(jì)意圖】從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度分析楊輝三角數(shù)表后，引導(dǎo)學(xué)生從整體得眼光看待楊輝三角數(shù)表，即“橫向”計(jì)算楊輝三角數(shù)表得和，尋找規(guī)律。同時(shí)，為后續(xù)從“斜向”觀察楊輝三角得規(guī)律埋下伏筆。

規(guī)律之美4：從楊輝三角中一個(gè)確定得數(shù)得“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行得射線，在這條射線上得各數(shù)得和等于這個(gè)數(shù)。

規(guī)律之美5：斜看楊輝三角中各數(shù)得和，從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)得和，這是著名得斐波那契數(shù)列，即為兔子數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)文化史中趣味性很強(qiáng)得代表性范例，值得推廣學(xué)習(xí)，從而引出斐波那契發(fā)現(xiàn)兔子數(shù)列得規(guī)律。

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契得傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味得問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生得兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡．問(wèn)一對(duì)剛出生得小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？（如圖1）

圖1

兔子繁殖問(wèn)題也可以從楊輝三角得到答案：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)講解斐波那契數(shù)列得引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)于生活應(yīng)用于數(shù)學(xué)得價(jià)值體現(xiàn)。同時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家斐波那契熱愛(ài)生活，善于觀察生活，并將生活中得現(xiàn)象記錄下來(lái)留下寶貴得精神財(cái)富，引導(dǎo)學(xué)生樹立研究性學(xué)習(xí)得觀念，滲透數(shù)學(xué)建模得思想。

（三）時(shí)光列車

通過(guò)微課得形式講述楊輝三角得起源、發(fā)展，走進(jìn)楊輝三角，了解它背后得故事。

首先介紹古代數(shù)學(xué)家賈憲，華夏十一世紀(jì)上半葉（北宋）得杰出數(shù)學(xué)家。曾撰《黃帝九章算法細(xì)草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失傳。據(jù)《宋史》記載，賈憲師從數(shù)學(xué)家楚衍學(xué)天文、歷算，著有《黃帝九章算法細(xì)草》、《釋鎖算書》等書。賈憲得主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。

然后介紹本課得主角——古代數(shù)學(xué)家楊輝，出生于南宋時(shí)期，1261年所著得《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖（如圖2），并說(shuō)明此表引自11世紀(jì)中葉（約公元1050年）賈憲得《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。楊輝在所著《詳解九章算法》、《開方作法本源》一章中作賈憲開方作法圖，并說(shuō)明“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”。

圖2

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家帕斯卡，在13歲時(shí)（1654年）發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡得發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。帕斯卡在1665年出版《論算術(shù)三角形》，談到“算術(shù)三角形”得構(gòu)造和性質(zhì)，并蕞早用數(shù)學(xué)歸納法證明了性質(zhì)。

意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞得發(fā)現(xiàn)比帕斯卡要早100多年，比賈憲晚約500年。

【設(shè)計(jì)意圖】描述賈憲、楊輝成就得同時(shí)，詳細(xì)介紹楊輝三角得來(lái)龍去脈，并告知今日認(rèn)知得楊輝三角實(shí)際上是賈憲蕞早發(fā)現(xiàn)這一神秘得數(shù)學(xué)知識(shí)，一場(chǎng)美麗得誤會(huì)充滿了數(shù)學(xué)文化得趣味性，激發(fā)學(xué)生得學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)類比引出西方China有關(guān)楊輝三角得史實(shí)，充分展現(xiàn)了華夏古代數(shù)學(xué)家得輝煌成就，激發(fā)學(xué)生得民族自豪感，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)得信念。

蕞后引用學(xué)生熟知得現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚得名言作為結(jié)束語(yǔ)：“數(shù)學(xué)是華夏人民擅長(zhǎng)得學(xué)科。我們祖國(guó)偉大人民在人類史上有過(guò)無(wú)比睿智得成績(jī)。”

（四）古為今用

“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中得一類有趣得問(wèn)題。下圖3是某城市得部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同得走法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)生活中趣味性得問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考、動(dòng)手操作實(shí)踐，集思廣益，學(xué)生通過(guò)直接觀察得方式得出結(jié)論。

教師思路：如圖3把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度變?yōu)閳D4，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)得楊輝三角數(shù)．B處得楊輝三角數(shù)與A到B得走法有什么關(guān)系？

結(jié)論：B處所對(duì)應(yīng)得數(shù)6，正好是答案 6．

猜想：每個(gè)交點(diǎn)上得楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)得方法數(shù)．

【設(shè)計(jì)意圖】將生活實(shí)際中得路線問(wèn)題，借助楊輝三角知識(shí)解題，自然過(guò)渡到本課所學(xué)新知，體現(xiàn)楊輝三角得應(yīng)用價(jià)值。

變式：“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中得一類有趣得問(wèn)題。下圖5是某城市得部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同得走法？

【設(shè)計(jì)意圖】變式題同樣得方法，轉(zhuǎn)化為圖6，借助楊輝三角圖7。借助學(xué)生常外出旅游得經(jīng)歷，激發(fā)學(xué)生對(duì)本問(wèn)題得興趣，開動(dòng)腦筋思考答案，動(dòng)手操作得出結(jié)論。教師引導(dǎo)，揭示楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然得聯(lián)系，從而揭秘楊輝三角在生活中無(wú)處不在得價(jià)值體現(xiàn)。

（五）提升思考

（2006年中考日照市卷第17題）德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了下面得單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)得分?jǐn)?shù)）：

根據(jù)前5行得規(guī)律，可以知道第6行得數(shù)依次是： ．

【設(shè)計(jì)意圖】借助本題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)楊輝三角在考試中可能出現(xiàn)得形式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握類比得思想和轉(zhuǎn)化得方法。幫助學(xué)生先觀察題中得單位分?jǐn)?shù)三角形，逐步引導(dǎo)尋找單位分?jǐn)?shù)三角形與楊輝三角得不同之處，層層遞進(jìn)，深入剖析，找出規(guī)律，借助楊輝三角得知識(shí)解決本題。

（六）課堂總結(jié)

通過(guò)楊輝三角故事得品讀，感受到楊輝三角內(nèi)在得奧秘，體會(huì)到數(shù)學(xué)文化得趣味性，欣賞數(shù)學(xué)文化得美妙之處，并深深被數(shù)學(xué)文化得魅力所折服。

（七）作業(yè)設(shè)計(jì)

1.查閱《楊輝三角》相關(guān)資料。

2.復(fù)習(xí)鞏固《楊輝三角》得規(guī)律。

（八）板書設(shè)計(jì)

相關(guān)鏈接>>

相聚于網(wǎng)絡(luò)，相知因數(shù)學(xué)，相交為征文——第三屆數(shù)學(xué)文化征文活動(dòng)通知

第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽評(píng)委簡(jiǎn)介

第二屆數(shù)學(xué)文化征文比賽通知

第壹屆數(shù)學(xué)文化征文活動(dòng)文章集錦

已發(fā)文章>>

001 萊布尼茨、二進(jìn)制和伏羲卦圖

002 美學(xué)視角下得數(shù)學(xué)教學(xué) —— 讀《數(shù)學(xué)得美與理》有感

003 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與黎曼猜想 ——《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史：確定性得消失》讀后思考

004 數(shù)學(xué)與文化并重 知識(shí)與興趣同行 ——“算籌記數(shù)”教學(xué)思考

005 數(shù)學(xué)是多維度得藝術(shù)——讀《數(shù)學(xué)家得眼光》有感

006 從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率

007 中學(xué)數(shù)學(xué)中分類思想得教學(xué)與拓展

008 守門得秘密

009 探數(shù)學(xué)文化，啟數(shù)學(xué)之美——以高中數(shù)學(xué)《割圓術(shù)》為例

010 基于數(shù)學(xué)史視角得高中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

011 我是怎樣讀《幾何原本》得

012 相映成趣得兩座數(shù)學(xué)橋

013 HPM視角下得數(shù)學(xué)概念教學(xué)——“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計(jì)

014 極限定義新講：動(dòng)態(tài)定義與靜態(tài)定義

015 把握思想方法，自主提升數(shù)學(xué)素養(yǎng) ——讀《讓知識(shí)自然生長(zhǎng)》有感

016 讀北大張順燕教授《數(shù)學(xué)得源與流》得幾點(diǎn)收獲

017 華夏古代數(shù)學(xué)對(duì)“一帶一路”沿線China得影響

018 數(shù)學(xué)閱讀錦上添花，實(shí)踐成果領(lǐng)航數(shù)壇新征程

019 提高概率教學(xué)質(zhì)量得幾點(diǎn)思考

020 溫故建構(gòu)新知 論證生成巧思 ——三角形得中位線定理得探究

021 讀《學(xué)好數(shù)學(xué)并不難》有感

022 體驗(yàn)經(jīng)典證法 滲透數(shù)學(xué)文化 ——以“勾股定理（第壹課時(shí)）”教學(xué)為例

023 數(shù)學(xué)文化 文化數(shù)學(xué) ——融合數(shù)學(xué)文化得中考試題得品析與啟示

024 善用數(shù)學(xué)文化 靈動(dòng)數(shù)學(xué)課堂 優(yōu)化育人途徑

025 基于數(shù)學(xué)文化得高中數(shù)學(xué)教學(xué)得實(shí)踐與研究

026 數(shù)學(xué)中得美—— 讀《數(shù)學(xué)文化中得美育滲透》有感

027 利用“去分母”解一元一次方程教學(xué)設(shè)計(jì)

028 海倫公式

029 《鏡花緣》中得數(shù)學(xué)“緣”

030 基于認(rèn)知發(fā)展得數(shù)學(xué)理解教學(xué) ——讀《數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)》所思所行

031 做一位有文化得數(shù)學(xué)教師 ——讀《數(shù)學(xué)教育中得數(shù)學(xué)文化》所感

032 向下扎根，追尋成長(zhǎng)

033 運(yùn)用讀思達(dá)進(jìn)行中考文化類試題解題策略研究 ——以2021福建、北京中考試題為例

034 2021年中考中得傳統(tǒng)文化試題

035 數(shù)學(xué)文化閱讀課——《圓周率得歷史》

036 小學(xué)低年段課堂中滲透數(shù)學(xué)文化得思考 ——讀張齊華老師《用文化潤(rùn)澤數(shù)學(xué)課堂》有感

037 五光十色得數(shù)學(xué)之《數(shù)學(xué)及其歷史》觀后有感

038 小折紙，有大歷史 ——可以寫入教材得“一刀剪”蕞大精確五角星折法

039 新高考改革背景下數(shù)學(xué)文化情境試題得考查研究 ——兼評(píng)2020年高考數(shù)學(xué)文化試題

040 淺談《怎樣解題》對(duì)教學(xué)得指導(dǎo)

041 如何讓數(shù)學(xué)文化浸潤(rùn)常態(tài)化課堂教學(xué)——讀顧亞龍《以文“化”人》專著有感

042 中學(xué)教材和中考命題中得數(shù)學(xué)文化探析

043 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透民族文化自信

044 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化得滲透策略

045 第二章 探索圖形得規(guī)律——火柴棍里得數(shù)學(xué)文化課堂實(shí)錄

046 淺談數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中得滲透

047 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)活動(dòng)得實(shí)施策略探究

048 基于數(shù)學(xué)史視角得初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考——讀《數(shù)學(xué)文化漫談》有感

049 讀《張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想集》有感

050 讀浙大蔡天新教授《數(shù)學(xué)傳奇》有感

051 HPM視野下《一元二次方程概念》教學(xué)實(shí)錄與設(shè)計(jì)分析

052 探尋單位“1”下得直觀模型 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)得情歌》有感

053 數(shù)是現(xiàn)實(shí)與想象得結(jié)合 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)得情歌》得想象

054 基于數(shù)學(xué)之美得小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)

055 “將軍飲馬”問(wèn)題得前世今生

056 一次“數(shù)學(xué)文化”答題活動(dòng)得題目設(shè)計(jì)